“开差幂、开差立，兼以正负参之。”

《隋书·律历志》

    中国古代数学成就辉煌，是最早创造十进位制的国家，也是通过阴阳八卦最早提出二进位制观念的国家，这是两项影响了历史进程和现代生活的伟大创造。西汉或早于西汉的、由赵爽注的《周髀算经》对勾股定理的论证大约和希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras)的论证同时代，又是互无联系、各自发明的。三国时伟大的数学家刘徽的《九章算术注》创造了求多面体体积的关键性理论——刘徽原理，用无穷小分割和极限思想证明了圆面积公式，并创造了求圆周率近似值的科学程序，计算了正192边形的面积，求出圆周率的近似值为3.14，用分数表示为157/50和3927/1250。

刘徽“割圆术”示意图

    在刘徽和其他数学家创造性劳动、探索的基础上，另一位伟大数学家祖冲之（429—500）应运而生了。祖冲之生于南朝的一个士大夫家庭，自幼勤奋好学，勇于创新，勤于实践，25岁入华林学省从事学术研究，后来在一位高官手下任公府参军，得以有充分时间进行科学研究，在天文、历法、数学和机械制造等方面都取得了重大成就。祖冲之和儿子祖的数学成就都集中在他们的数学著作《缀术》中，这部著作，被列为“算经十书”之中，是唐朝学生和朝鲜、日本学生的算学课本，可惜已经失传。现在所知的祖冲之的数学成就都是其他著作中留下的残缺不全的记载，主要集中在圆周率、球体积和开带从立方三个方面。

祖冲之像

    在圆周率近似值的计算方面，古希腊一直是走在中国前面的。公元前5世纪，当希腊数学家算得圆周率为3.1416时，中国还停留在“周三径一”的古率阶段，并一直沿用到汉代。西汉刘歆算得3.141547或3.14166，有效数字为3.1，东汉张衡得到92/29和10的平方根这两个表达方式。刘徽算出圆周率为3.14，但是祖冲之不满足于刘徽这个成果，他通过刘徽的割圆术，从正六边形出发，直到计算出正6乘2的12次方边形的面积。他用更开密法，进一步算出了圆周率大于3.1415926小于3.1415927的结果。得到这样的结果，要对这样一个九位数字进行不下130次的包括开方在内的运算，这需要何等的毅力、决心和精力！这在当时是一项了不起的成就，他不但把刘徽的数值精度提高了上百倍，而且运用了“盈二限”的方法给出了一个无理数值的变化范围，是一个无理数表示的基本方法，这种方法，除了希腊大数学家阿基米德之外，运用得最好的就是祖冲之了。祖冲之得出了两个表达圆周率的分数，一个是22/7，一个是355/113，前者称为约率，后者称为密率。密率是一个很好的近似值，有人做过计算，如果用它来计算半径为10公里的圆面积，误差不会超过几毫米。祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安托尼斯才发现了圆周率的密率355/113，并被称为“安托尼斯率”。1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。

刘徽《九章算术注》书影